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31.
解答 · 中等2023 · 高考真题
已知{an}\left\{a_{n}\right\}是等差数列，a2+a5=16,a5−a3=4a_{2}+a_{5}=16,a_{5}-a_{3}=4． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式和∑i=2n−12n−1ai(n∈N∗)\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1}{a_{i}}\left(n\in N^{∗}\right)． (2)设{bn}\left\{b_{n}\right\}是等比数列，且对任意的k∈N∗k\in N^{*}，当2k−1≤n≤2k−12^{k-1}\le n\le 2^{k}-1时，则bk<an<bk+1b_{k}<a_{n}<b_{k+1}， （Ⅰ）当k≥2k\ge 2时，求证：2k−1<bk<2k+12^{k}-1<b_{k}<2^{k}+1； （Ⅱ）求{bn}\left\{b_{n}\right\}的通项公式及前nn项和．
等差数列+1
32.
解答 · 中等（0.63）2023 · 高考真题
已知{an}\left\{a_{n}\right\}为等差数列，bn={an−6,n为奇数2an,n为偶数b_{n}=\left\{\begin{matrix}a_{n}-6,n\text{为奇数}\\2a_{n},n\text{为偶数}\end{matrix}\right.，记SnS_{n}，TnT_{n}分别为数列{an}\left\{a_{n}\right\}，{bn}\left\{b_{n}\right\}的前n项和，S4=32S_{4}=32，T3=16T_{3}=16． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式； (2)证明：当n>5n>5时，Tn>SnT_{n}>S_{n}．
等差数列的前n项和
33.
解答 · 较难（0.55）2023 · 高考真题
设等差数列{an}\left\{a_{n}\right\}的公差为dd，且d>1d>1．令bn=n2+nanb_{n}=\frac{n^{2}+n}{a_{n}}，记Sn,TnS_{n},T_{n}分别为数列{an},{bn}\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}的前nn项和． (1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=213a_{2}=3a_{1}+a_{3},S_{3}+T_{3}=21，求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式； (2)若{bn}\left\{b_{n}\right\}为等差数列，且S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求dd．
等差数列的前n项和
34.
解答 · 中等2023 · 高考真题
记SnS_{n}为等差数列{an}\left\{a_{n}\right\}的前nn项和，已知a2=11,S10=40a_{2}=11,S_{10}=40． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式； (2)求数列{∣an∣}\left\{\left|a_{n}\right|\right\}的前nn项和TnT_{n}．
等差数列的前n项和
35.
单选 · 基础（0.87）2022 · 高考真题
设x∈Rx\in R，则“sin⁡x=1\sin x=1”是“cos⁡x=0\cos x=0”的（    ）
同角三角函数的基本关系
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
36.
单选 · 基础（0.83）2021 · 高考真题
若tan⁡θ=−2\tan \theta =-2，则sin⁡θ(1+sin⁡2θ)sin⁡θ+cosθ=\frac{\sin \theta \left(1+\sin 2\theta \right)}{\sin \theta +cos\theta }=（    ）
同角三角函数的基本关系
A.
−65-\frac{6}{5}
B.
−25-\frac{2}{5}
C.
25\frac{2}{5}
D.
65\frac{6}{5}
37.
解答 · 较难（0.52）2021 · 高考真题
已知数列{an}\left\{a_{n}\right\}满足a1=1a_{1}=1，an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\left\{\begin{matrix}a_{n}+1,n\text{为奇数},\\a_{n}+2,n\text{为偶数}.\end{matrix}\right. （1）记bn=a2nb_{n}=a_{2n}，写出b1b_{1}，b2b_{2}，并求数列{bn}\left\{b_{n}\right\}的通项公式； （2）求{an}\left\{a_{n}\right\}的前20项和.
由递推关系式求通项公式+1
38.
填空 · 基础（0.86）2020 · 高考真题
已知圆锥的侧面积（单位：cm2cm^{2}） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cmcm）是_______．
任意角的三角函数
39.
解答 · 较难（0.54）2020 · 高考真题
已知公比大于11的等比数列{an}\{a_{n}\}满足a2+a4=20,a3=8a_{2}+a_{4}=20,a_{3}=8． （1）求{an}\{a_{n}\}的通项公式； （2）记bmb_{m}为{an}\{a_{n}\}在区间(0,m](m∈N∗)(0,m](m\in N^{*})中的项的个数，求数列{bm}\{b_{m}\}的前100100项和S100S_{100}．
等比数列的前n项和
40.
填空 · 中等（0.71）2019 · 高考真题
已知tan⁡αtan⁡(α+π4)=−23\frac{\tan \alpha }{\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)}=-\frac{2}{3}，则sin⁡(2α+π4)\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)的值是_____.
同角三角函数的基本关系