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1.
解答 · 中等2026 · 高考真题
已知等差数列{an}\left\{a_{n}\right\}与等比数列{bn}\left\{b_{n}\right\}满足：a1=2a_{1}=2，b1=1b_{1}=1，a2=b1+b2a_{2}=b_{1}+b_{2}，a4=b3−b1a_{4}=b_{3}-b_{1}． (1)求数列{an}\left\{a_{n}\right\}，{bn}\left\{b_{n}\right\}的通项公式； (2)记En={x∈R∣x≤nE_{n}=\left\{x\in R\left|x\right.\le n\right.，∃k∈N∗\exists k\in N^{*}，x=akx=a_{k}或x=bk}x=b_{k}\}，记cnc_{n}为EnE_{n}中的元素个数． （i）求c3nc_{3^{n}}； （ii）求∑m=13n−1(−1)m⋅am⋅cm\sum_{m=1}^{3^{n}-1}{(-1)^{m}}⋅a_{m}⋅c_{m}．
等差数列+1
2.
解答 · 中等2025 · 高考真题
已知数列{an}\left\{a_{n}\right\}是等差数列，{bn}\left\{b_{n}\right\}是等比数列，a1=b1=2,a2=b2+1,a3=b3a_{1}=b_{1}=2,a_{2}=b_{2}+1,a_{3}=b_{3}． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}，{bn}\left\{b_{n}\right\}的通项公式； (2)∀n∈N∗\forall n\in N^{*}，I={0,1}I=\left\{0,1\right\}，有Tn={p1a1b1+p2a2b2+...+pn−1an−1bn−1+pnanbn∣p1,p2,...,pn−1,pn∈I}T_{n}=\left\{p_{1}a_{1}b_{1}+p_{2}a_{2}b_{2}+...+p_{n-1}a_{n-1}b_{n-1}+p_{n}a_{n}b_{n}|p_{1},p_{2},...,p_{n-1},p_{n}\in I\right\}， （i）求证：对任意实数t∈Tnt\in T_{n}，均有t<an+1bn+1t<a_{n+1}b_{n+1}; （ii）求TnT_{n}所有元素之和．
等差数列+1
3.
解答 · 中等2024 · 高考真题
记SnS_{n}为数列{an}\left\{a_{n}\right\}的前nn项和，已知4Sn=3an+44S_{n}=3a_{n}+4． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式； (2)设bn=(−1)n−1nanb_{n}=(-1)^{n-1}na_{n}，求数列{bn}\left\{b_{n}\right\}的前nn项和TnT_{n}．
由递推关系式求通项公式+1
4.
解答 · 较难（0.57）2024 · 高考真题
已知{an}\left\{a_{n}\right\}为公比大于0的等比数列，其前nn项和为SnS_{n}，且a1=1,S2=a3−1a_{1}=1,S_{2}=a_{3}-1． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式及SnS_{n}； (2)设数列{bn}\left\{b_{n}\right\}满足bn={k,n=akbn−1+2k,ak<n<ak+1b_{n}=\left\{\begin{matrix}k,n=a_{k}\\b_{n-1}+2k,a_{k}<n<a_{k+1}\end{matrix}\right.，其中k∈N∗k\in N*． （ⅰ）当n=ak+1(k∈N∗,且k>1)n=a_{k+1}\left(k\in N^{*},\text{且}k>1\right)时，求证：bn−1≥ak⋅bnb_{n-1}\ge a_{k}⋅b_{n}； （ⅱ）求∑i=1Snbi\sum_{i=1}^{S_{n}}{b_{i}}．
等差数列+1
5.
解答 · 中等2024 · 高考真题
已知等比数列{an}\left\{a_{n}\right\}的前nn项和为SnS_{n}，且2Sn=3an+1−32S_{n}=3a_{n+1}-3. (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式； (2)求数列{Sn}\left\{S_{n}\right\}的前n项和.
等比数列的前n项和
6.
解答 · 较难（0.57）2023 · 高考真题
设SnS_{n}为数列{an}\left\{a_{n}\right\}的前n项和，已知a2=1,2Sn=nana_{2}=1,2S_{n}=na_{n}． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式； (2)求数列{an+12n}\left\{\frac{a_{n+1}}{2^{n}}\right\}的前n项和TnT_{n}．
由递推关系式求通项公式+1
7.
解答 · 中等2023 · 高考真题
已知{an}\left\{a_{n}\right\}是等差数列，a2+a5=16,a5−a3=4a_{2}+a_{5}=16,a_{5}-a_{3}=4． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式和∑i=2n−12n−1ai(n∈N∗)\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1}{a_{i}}\left(n\in N^{∗}\right)． (2)设{bn}\left\{b_{n}\right\}是等比数列，且对任意的k∈N∗k\in N^{*}，当2k−1≤n≤2k−12^{k-1}\le n\le 2^{k}-1时，则bk<an<bk+1b_{k}<a_{n}<b_{k+1}， （Ⅰ）当k≥2k\ge 2时，求证：2k−1<bk<2k+12^{k}-1<b_{k}<2^{k}+1； （Ⅱ）求{bn}\left\{b_{n}\right\}的通项公式及前nn项和．
等差数列+1
8.
解答 · 中等（0.63）2023 · 高考真题
已知{an}\left\{a_{n}\right\}为等差数列，bn={an−6,n为奇数2an,n为偶数b_{n}=\left\{\begin{matrix}a_{n}-6,n\text{为奇数}\\2a_{n},n\text{为偶数}\end{matrix}\right.，记SnS_{n}，TnT_{n}分别为数列{an}\left\{a_{n}\right\}，{bn}\left\{b_{n}\right\}的前n项和，S4=32S_{4}=32，T3=16T_{3}=16． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式； (2)证明：当n>5n>5时，Tn>SnT_{n}>S_{n}．
等差数列的前n项和
9.
解答 · 较难（0.55）2023 · 高考真题
设等差数列{an}\left\{a_{n}\right\}的公差为dd，且d>1d>1．令bn=n2+nanb_{n}=\frac{n^{2}+n}{a_{n}}，记Sn,TnS_{n},T_{n}分别为数列{an},{bn}\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}的前nn项和． (1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=213a_{2}=3a_{1}+a_{3},S_{3}+T_{3}=21，求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式； (2)若{bn}\left\{b_{n}\right\}为等差数列，且S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求dd．
等差数列的前n项和
10.
解答 · 中等2023 · 高考真题
记SnS_{n}为等差数列{an}\left\{a_{n}\right\}的前nn项和，已知a2=11,S10=40a_{2}=11,S_{10}=40． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式； (2)求数列{∣an∣}\left\{\left|a_{n}\right|\right\}的前nn项和TnT_{n}．
等差数列的前n项和