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11.
解答 · 较难（0.52）2021 · 高考真题
已知数列{an}\left\{a_{n}\right\}满足a1=1a_{1}=1，an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\left\{\begin{matrix}a_{n}+1,n\text{为奇数},\\a_{n}+2,n\text{为偶数}.\end{matrix}\right. （1）记bn=a2nb_{n}=a_{2n}，写出b1b_{1}，b2b_{2}，并求数列{bn}\left\{b_{n}\right\}的通项公式； （2）求{an}\left\{a_{n}\right\}的前20项和.
由递推关系式求通项公式+1
12.
解答 · 较难（0.54）2020 · 高考真题
已知公比大于11的等比数列{an}\{a_{n}\}满足a2+a4=20,a3=8a_{2}+a_{4}=20,a_{3}=8． （1）求{an}\{a_{n}\}的通项公式； （2）记bmb_{m}为{an}\{a_{n}\}在区间(0,m](m∈N∗)(0,m](m\in N^{*})中的项的个数，求数列{bm}\{b_{m}\}的前100100项和S100S_{100}．
等比数列的前n项和
13.
解答 · 中等2019 · 高考真题
设{an}\left\{a_{n}\right\}是等差数列，{bn}\left\{b_{n}\right\}是等比数列，公比大于00，已知a1=b1=3a_{1}=b_{1}=3，b2=a3b_{2}=a_{3} ，b3=4a2+3b_{3}=4a_{2}+3. （Ⅰ）求{an}\left\{a_{n}\right\}和{bn}\left\{b_{n}\right\}的通项公式； （Ⅱ）设数列{cn}\left\{c_{n}\right\}满足cn={1,n为奇数,bn2n为偶数,c_{n}=\left\{\begin{matrix}1, & n\text{为奇数},\\b_{\frac{n}{2}} & n\text{为偶数},\end{matrix}\right.求a1c1+a2c2+⋯+a2nc2n(n∈N∗)a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+⋯+a_{2n}c_{2n}\quad \left(n\in N^{*}\right).
等差数列+1
14.
解答 · 中等2019 · 高考真题
设等差数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，a3=4a_{3}=4，a4=S3a_{4}=S_{3}，数列{bn}\{b_{n}\}满足：对任意n∈N∗,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bnn\in N^{∗},S_{n}+b_{n},S_{n+1}+b_{n},S_{n+2}+b_{n}成等比数列. （1）求数列{an},{bn}\{a_{n}\},\{b_{n}\}的通项公式； （2）记Cn=an2bn,n∈N∗,C_{n}=\sqrt{\frac{a_{n}}{2b_{n}}},n\in N^{∗}, 证明：C1+C2+⋯+Cn<2n,n∈N∗.C_{1}+C_{2}+⋯+C_{n}<2\sqrt{n},n\in N^{∗}.
等差数列+1
15.
解答 · 中等（0.68）2019 · 高考真题
设{an}\left\{a_{n}\right\}是等差数列，{bn}\left\{b_{n}\right\}是等比数列.已知a1=4,b1=6 ， b2=2a2−2,b3=2a3+4a_{1}=4,b_{1}=6\ \text{，}\ b_{2}=2a_{2}-2,b_{3}=2a_{3}+4. （Ⅰ）求{an}\left\{a_{n}\right\}和{bn}\left\{b_{n}\right\}的通项公式； （Ⅱ）设数列{cn}\left\{c_{n}\right\}满足c1=1,cn={1,2k<n<2k+1,bk,n=2k,c_{1}=1,c_{n}=\left\{\begin{matrix}1,\quad 2^{k}<n<2^{k+1},\\b_{k},n=2^{k},\end{matrix}\right.其中k∈N∗k\in N^{*}. （i）求数列{a2n(c2n−1)}\left\{a_{2^{n}}\left(c_{2^{n}}-1\right)\right\}的通项公式； （ii）求∑i=1na2ic2i(n∈N∗)\sum_{i=1}^{n}{a_{2^{i}}}c_{2^{i}}\quad \left(n\in N^{*}\right).
等差数列+1
16.
解答 · 中等2019 · 高考真题
已知{an}\{a_{n}\}是各项均为正数的等比数列，a1=2,a3=2a2+16a_{1}=2,a_{3}=2a_{2}+16. （1）求{an}\{a_{n}\}的通项公式； （2）设bn=log⁡2anb_{n}=\log _{2}a_{n}，求数列{bn}\{b_{n}\}的前n项和.
等比数列的前n项和
17.
解答 · 较难（0.56）2019 · 高考真题
记SnS_{n}为等差数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和，已知S9=−a5S_{9}=-a_{5}． （1）若a3=4a_{3}=4，求数列{an}\{a_{n}\}的通项公式； （2）若a1>0a_{1}>0，求使得Sn≥anS_{n}\geq a_{n}的nn的取值范围．
等差数列的前n项和
18.
解答 · 中等（0.71）2019 · 高考真题
设{an}\{a_n\}是等差数列，a1=−10a_1=-10，且a2+10,a3+8,a4+6a_2+10,a_3+8,a_4+6成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}\{a_n\}的通项公式； （Ⅱ）记数列{an}\{a_n\}的前nn项和为SnS_n，求SnS_n的最小值．
等差数列的前n项和
19.
解答 · 中等2019 · 高考真题
已知等差数列{an}\left\{a_{n}\right\}的公差d∈(0,π]d\in \left(0,\pi \right]，数列{bn}\left\{b_{n}\right\}满足bn=sin⁡(an)b_{n}=\sin \left(a_{n}\right)，集合S={x∣x=bn,n∈N∗}S=\left\{x|x=b_{n},n\in N^{∗}\right\}. （1）若a1=0,d=2π3a_{1}=0,d=\frac{2\pi }{3}，求集合SS； （2）若a1=π2a_{1}=\frac{\pi }{2}，求dd使得集合SS恰好有两个元素； （3）若集合SS恰好有三个元素：bn+T=bnb_{n+T}=b_{n}，TT是不超过7的正整数，求TT的所有可能的值.
等差数列的前n项和
20.
解答 · 中等2018 · 高考真题
设{an}\left\{a_{n}\right\}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N∗)S_{n}\left(n\in N^{*}\right)，{bn}\left\{b_{n}\right\}是等差数列.已知a1=1a_{1}=1，a3=a2+2a_{3}=a_{2}+2，a4=b3+b5a_{4}=b_{3}+b_{5}，a5=b4+2b6a_{5}=b_{4}+2b_{6}. （I）求{an}\left\{a_{n}\right\}和{bn}\left\{b_{n}\right\}的通项公式； （II）设数列{Sn}\left\{S_{n}\right\}的前n项和为Tn(n∈N∗)T_{n}\left(n\in N^{*}\right)， （i）求TnT_{n}； （ii）证明∑k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2−2(n∈N∗)\sum _{k=1}^{n}{}\frac{\left(T_{k}+b_{k+2}\right)b_{k}}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{2^{n+2}}{n+2}-2\left(n\in N^{*}\right).
由递推关系式求通项公式+1