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11.
解答 · 较难（0.57）2024 · 高考真题
已知{an}\left\{a_{n}\right\}为公比大于0的等比数列，其前nn项和为SnS_{n}，且a1=1,S2=a3−1a_{1}=1,S_{2}=a_{3}-1． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式及SnS_{n}； (2)设数列{bn}\left\{b_{n}\right\}满足bn={k,n=akbn−1+2k,ak<n<ak+1b_{n}=\left\{\begin{matrix}k,n=a_{k}\\b_{n-1}+2k,a_{k}<n<a_{k+1}\end{matrix}\right.，其中k∈N∗k\in N*． （ⅰ）当n=ak+1(k∈N∗,且k>1)n=a_{k+1}\left(k\in N^{*},\text{且}k>1\right)时，求证：bn−1≥ak⋅bnb_{n-1}\ge a_{k}⋅b_{n}； （ⅱ）求∑i=1Snbi\sum_{i=1}^{S_{n}}{b_{i}}．
等差数列+1
12.
解答 · 中等2024 · 高考真题
已知等比数列{an}\left\{a_{n}\right\}的前nn项和为SnS_{n}，且2Sn=3an+1−32S_{n}=3a_{n+1}-3. (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式； (2)求数列{Sn}\left\{S_{n}\right\}的前n项和.
等比数列的前n项和
13.
填空 · 中等（0.75）2023 · 高考真题
若f(x)=(x−1)2+ax+sin⁡(x+π2)f\left(x\right)=\left(x-1\right)^{2}+ax+\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)为偶函数，则a=a=________．
三角函数的诱导公式
14.
填空 · 基础（0.84）2023 · 高考真题
在△ABC\triangle ABC中，已知a=4a=4，b=5b=5，c=6c=6，则sin⁡A=\sin A=__________．
同角三角函数的基本关系
15.
单选 · 基础（0.87）2023 · 高考真题
设甲：sin⁡2α+sin2β=1\sin ^{2}\alpha +sin^{2}\beta =1，乙：sin⁡α+cosβ=0\sin \alpha +cos\beta =0，则（    ）
同角三角函数的基本关系
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
16.
填空 · 中等2023 · 高考真题
若θ∈(0,π2),tanθ=12\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right),tan\theta =\frac{1}{2}，则sinθ−cosθ=sin\theta -cos\theta =________．
任意角的三角函数
17.
填空 · 中等2023 · 高考真题
已知命题p:p:若α,β\alpha ,\beta为第一象限角，且α>β\alpha >\beta，则tan⁡α>tanβ\tan \alpha >tan\beta．能说明p为假命题的一组α,β\alpha ,\beta的值为α=\alpha =__________，β=\beta = _________．
任意角的三角函数
18.
解答 · 较难（0.57）2023 · 高考真题
设SnS_{n}为数列{an}\left\{a_{n}\right\}的前n项和，已知a2=1,2Sn=nana_{2}=1,2S_{n}=na_{n}． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式； (2)求数列{an+12n}\left\{\frac{a_{n+1}}{2^{n}}\right\}的前n项和TnT_{n}．
由递推关系式求通项公式+1
19.
解答 · 中等2023 · 高考真题
已知{an}\left\{a_{n}\right\}是等差数列，a2+a5=16,a5−a3=4a_{2}+a_{5}=16,a_{5}-a_{3}=4． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式和∑i=2n−12n−1ai(n∈N∗)\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1}{a_{i}}\left(n\in N^{∗}\right)． (2)设{bn}\left\{b_{n}\right\}是等比数列，且对任意的k∈N∗k\in N^{*}，当2k−1≤n≤2k−12^{k-1}\le n\le 2^{k}-1时，则bk<an<bk+1b_{k}<a_{n}<b_{k+1}， （Ⅰ）当k≥2k\ge 2时，求证：2k−1<bk<2k+12^{k}-1<b_{k}<2^{k}+1； （Ⅱ）求{bn}\left\{b_{n}\right\}的通项公式及前nn项和．
等差数列+1
20.
解答 · 中等（0.63）2023 · 高考真题
已知{an}\left\{a_{n}\right\}为等差数列，bn={an−6,n为奇数2an,n为偶数b_{n}=\left\{\begin{matrix}a_{n}-6,n\text{为奇数}\\2a_{n},n\text{为偶数}\end{matrix}\right.，记SnS_{n}，TnT_{n}分别为数列{an}\left\{a_{n}\right\}，{bn}\left\{b_{n}\right\}的前n项和，S4=32S_{4}=32，T3=16T_{3}=16． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式； (2)证明：当n>5n>5时，Tn>SnT_{n}>S_{n}．
等差数列的前n项和