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1.
解答 · 较难（0.57）2024 · 高考真题
已知{an}\left\{a_{n}\right\}为公比大于0的等比数列，其前nn项和为SnS_{n}，且a1=1,S2=a3−1a_{1}=1,S_{2}=a_{3}-1． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式及SnS_{n}； (2)设数列{bn}\left\{b_{n}\right\}满足bn={k,n=akbn−1+2k,ak<n<ak+1b_{n}=\left\{\begin{matrix}k,n=a_{k}\\b_{n-1}+2k,a_{k}<n<a_{k+1}\end{matrix}\right.，其中k∈N∗k\in N*． （ⅰ）当n=ak+1(k∈N∗,且k>1)n=a_{k+1}\left(k\in N^{*},\text{且}k>1\right)时，求证：bn−1≥ak⋅bnb_{n-1}\ge a_{k}⋅b_{n}； （ⅱ）求∑i=1Snbi\sum_{i=1}^{S_{n}}{b_{i}}．
等差数列+1
2.
解答 · 较难（0.57）2023 · 高考真题
设SnS_{n}为数列{an}\left\{a_{n}\right\}的前n项和，已知a2=1,2Sn=nana_{2}=1,2S_{n}=na_{n}． (1)求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式； (2)求数列{an+12n}\left\{\frac{a_{n+1}}{2^{n}}\right\}的前n项和TnT_{n}．
由递推关系式求通项公式+1
3.
解答 · 较难（0.55）2023 · 高考真题
设等差数列{an}\left\{a_{n}\right\}的公差为dd，且d>1d>1．令bn=n2+nanb_{n}=\frac{n^{2}+n}{a_{n}}，记Sn,TnS_{n},T_{n}分别为数列{an},{bn}\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}的前nn项和． (1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=213a_{2}=3a_{1}+a_{3},S_{3}+T_{3}=21，求{an}\left\{a_{n}\right\}的通项公式； (2)若{bn}\left\{b_{n}\right\}为等差数列，且S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求dd．
等差数列的前n项和
4.
解答 · 较难（0.52）2021 · 高考真题
已知数列{an}\left\{a_{n}\right\}满足a1=1a_{1}=1，an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\left\{\begin{matrix}a_{n}+1,n\text{为奇数},\\a_{n}+2,n\text{为偶数}.\end{matrix}\right. （1）记bn=a2nb_{n}=a_{2n}，写出b1b_{1}，b2b_{2}，并求数列{bn}\left\{b_{n}\right\}的通项公式； （2）求{an}\left\{a_{n}\right\}的前20项和.
由递推关系式求通项公式+1
5.
解答 · 较难（0.54）2020 · 高考真题
已知公比大于11的等比数列{an}\{a_{n}\}满足a2+a4=20,a3=8a_{2}+a_{4}=20,a_{3}=8． （1）求{an}\{a_{n}\}的通项公式； （2）记bmb_{m}为{an}\{a_{n}\}在区间(0,m](m∈N∗)(0,m](m\in N^{*})中的项的个数，求数列{bm}\{b_{m}\}的前100100项和S100S_{100}．
等比数列的前n项和
6.
解答 · 较难（0.56）2019 · 高考真题
记SnS_{n}为等差数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和，已知S9=−a5S_{9}=-a_{5}． （1）若a3=4a_{3}=4，求数列{an}\{a_{n}\}的通项公式； （2）若a1>0a_{1}>0，求使得Sn≥anS_{n}\geq a_{n}的nn的取值范围．
等差数列的前n项和
7.
解答 · 较难（0.57）2018 · 高考真题
已知等比数列{an}\left\{a_{n}\right\}的公比q>1q>1，且a3+a4+a5=28a_{3}+a_{4}+a_{5}=28，a4+2a_{4}+2是a3,a5a_{3},a_{5}的等差中项．数列{bn}\left\{b_{n}\right\}满足b1=1b_{1}=1，数列{(bn+1−bn)an}\left\{\left(b_{n+1}-b_{n}\right)a_{n}\right\}的前n项和为2n2+n2n^{2}+n． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列{bn}\left\{b_{n}\right\}的通项公式．
等差数列+1
8.
解答 · 较难（0.55）2017 · 高考真题
设{an}\{a_{n}\}和{bn}\{b_{n}\}是两个等差数列，记cn=max⁡{b1−a1n,b2−a2n,⋅⋅⋅,bn−ann}c_{n}=\max \{b_{1}-a_{1}n,b_{2}-a_{2}n,⋅⋅⋅,b_{n}-a_{n}n\}(n=1,2,3,⋅⋅⋅)(n=1,2,3,⋅⋅⋅)， 其中max⁡{x1,x2,⋅⋅⋅,xs}\max \{x_{1},x_{2},⋅⋅⋅,x_{s}\}表示x1,x2,⋅⋅⋅,xsx_{1},x_{2},⋅⋅⋅,x_{s}这ss个数中最大的数． （Ⅰ）若an=na_{n}=n，bn=2n−1b_{n}=2n-1，求c1,c2,c3c_{1},c_{2},c_{3}的值，并证明{cn}\{c_{n}\}是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数MM，存在正整数mm，当n≥mn\ge m时，cnn>M\frac{c_{n}}{n}>M；或者存在正整数mm，使得cm,cm+1,cm+2,⋅⋅⋅c_{m},c_{m+1},c_{m+2},⋅⋅⋅是等差数列．
等差数列的前n项和